Bode Plot의 기초 중에서도 기초이야기

시스템의 주파수 영역을 해석하고자 할 때 아마 가장 많이 보는 것 중 하나가 보드(Bode) 선도일 겁니다. 제어관련 학과에서 2학년쯤에 거의 초중반에 학습하는 개념이기도 하구요. 저역시 그랬죠^^. 그러나 저는 어쩌다가 실무과정에서느 이 보드선도를 볼 일이 별로 없었습니다. 학부로부터 몇 십년(^^)이 지난 지금 다시 보드 선도를 볼 필요를 느끼게 되어 기초를 정리할 필요가 생겼더라구요. 학부때 배우던 Dorf의 Modern Control이라는 책도 오랜만에 펼쳤답니다. 이 중 특정 인쇄판(edition)은 저의 지도교수님께서 번역하시기도 했답니다.^^ 아무튼 그래서 이리저리 자료를 찾고 공부하던중 언제나 그렇지만 정말 잘 정리되고 간결한 자료를 또 만났습니다. 아이비리그에 속해 있는 명문 대학인 다트머스(Dartmouth)의 summer school 강의 자료인데요.. 그걸 보고 이렇게 또 따라해봅니다.^^

보드 선도의 정의와 dB의 정의

보드선도는 LTI(Linear Time Invariance) 시스템의 주파수 응답 특성을 그리는 표준 형식 중 하나입니다. 특히 다른 방법에 비해 그리고 판독하는 것이 간편한 편입니다. 그래서 이 방법을 사용하는 것은 많은 엔지니어들과 시스템의 특성에 대해 쉽게 소통할 수 있다는 장점을 가지고 있습니다. 보드(Bode) 선도의 흔히 x 축이라고 하는 horizontal axis는 log(로그) frequency scale로 그립니다. 그리고 흔히 y 축이라고 하는 vertical axis는 두 개인데, 크기(magnitude)는 dB로 표혀하고, 위상(phase)은 degree로 표현합니다.

아~~ 여기서 dB의 정의도 알고 가야지요^^

위 수식처럼, 입력대 출력의 비에 20log를 취한 것이 dB, 데시벨(decibel)의 정의입니다. 전력처럼 제곱으로 표현되는 경우는 20log가 아니라 10log를 취하기도 합니다. 아무튼 그래서 

위와 같이 3dB, -3dB같은 말이나, 10dB, 20dB라는 말을 자주 듣게 됩니다. -3dB라는 말은 크기가 0.7배 정도로 줄었다는 의미를 가진다는 것을 알 수 있습니다.

1차의 단순한 극점(pole)

먼저 시스템의 특방으로 표현된 상태의 분모에 근을 하나 가지는 경우 극점(pole)이 하나 있다고 하는데요. 이 극점이 하나 있는 경우를 보도록 하겠습니다. 단순한 극점은

이렇게 표현되구요.

보드 선도 중 크기(magnitude)를 그리면 위아 같은 특성을 가집니다. 위 빨간 점선은 근사적으로 그려진거구요. 파란선이 실제 곡선입니다. 위 그림에도 있지만, 다시 정리하면,

위의 항목이 주요한 점인데요. 먼저 1차의 간단한 극점을 가지는 시스템의 break point는 omega = a일때 잡힙니다. 그 점에서 시스템은 3dB가 실제로 떨어지게 되구요. 그 후는 (기울기라고 할 수 있는) -20dB/decade씩 쩔어지게 됩니다. 그리고 시스템의 위상(phase)은

위 그림과 같은 특성을 가집니다.

break point에서 -45도 지점을 지나가고, 전체적으로는 0에서 시작하세 -90도에서 마무리가 됩니다. 특히 근사적 표현으로 그릴 때 꺽이는 점은 각 각 omega가 break point의 1/5과 5배일 때입니다.

1차의 단순한 영점(zero)

분자에 있는 경우 이를 영점(zero)이라고 하는데요. 당연히 대표적인 형태는

입니다. 여기서의 magnitude는

와 같은 형태를 가집니다. 뭐 아까 극점의 경우와 같이 보면 재미있습니다.^^

역시 break point는 omega = b일 때이며 이 때, 극점과 달리 영점을 만나면 3dB 올라가게 됩니다. 그리고 영점의 영향은 3dB 올라간 후, 20dB/decade 씩 상승하게 됩니다.

위상도 0에서 시작해서 90도로 가게 되구요. 45도를 지날 때가 break point입니다.

중근(double)의 극점(pole)을 가질 때

제일 먼저 본 극점을 하나 가질 때에서 살짝 더 나가서 같은 극점을 가지는 중근의 형태는

일 겁니다.

이 경우 magnitude는 그냥 극점일 때와 비슷하지만,

break point에서 -6dB 떨어지고, 그 이후 고주파로 갈 수록 -40dB/decade로 감소합니다.

위상도 0에서 -180으로 가며,

break point는 -90입니다. 아. 위 그림에서 마지막 -90 at omega~~하는 부분은 -180이어야 하네요^^

2차계 시스템 - 두 개의 극점

2차계 시스템은 

위 수식처럼 표현됩니다. 이런 표준적인 표현은 머리에 잘 각인되어야 합니다. 얼핏 분자를 잘못 보고 omega_n 등을 판단하면 안되구요^^

omega의 각 상황별로 magnitue와 phase를 먼저 정리해 보면 위 그림과 같습니다. 

2차 시스템은 근사적(asymptote)으로 구한 것에서 공진(resonance)점의 변화가 zeta에 의해 다르게 나타나므로, zeta를 다양하게 두고 보아야 합니다. 아무튼 위 그림에서는 

일단 고주파로 흘러가면, -40db/decade씩 떨어집니다. break point는 omega = omega_n일때이며, 공진점의 피크를 단순히 계산할 때는 위 그림의 resonant peak를 사용하면 됩니다. 실제 값은 그 밑에 있구요^^ 그래서 zeta가 작을 수록 resonant peak가 올라갑니다.

위 상의 경우는 

0에서 -180으로 가는 그래프이며, zeta가 작을 수록 가파른 모양을 가지게 됩니다.

이렇게 오늘은 원래 20대 초반에 알았던 내용이지만, 15년 이상을 까먹고 지내다가 최근 다시 발굴한 지식을 살짝 정리하는 시간을 가졌습니다. 요렇게 정리하다 보니.. 살짝 위 그래프 그리는 것도 따로 다루고 싶네요. ㅎㅎ. 저 그래프.. Python으로 그렸거든요 ^^