[공업수학] 고유값과 고유벡터, 그리고 직교행렬

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

고유값과 고유벡터

위의 정의에서 보이지만, AK=(lambda)K 를 만족하는 lambda를 고유치, K를 고유벡터라고 합니다. 구하는 방법은 위 정의에서

 
위처럼 생각하면 됩니다. det(A-lambda I)=0를 풀면 됩니다.

 
예를 들어 위의 A행렬의 고유치와 고유벡터를 구하는 과정을 보면

 
위 행렬식을 풀어서 lambda의 방정식이 나오는데 그걸 특성방정식이라고 합니다. 그 특성방정식을 풀면 근이 나오겠지요. 그 근을 고유치라고 합니다.

 
그리고 각 고유치를 다시 정의식에 대입하여 고유벡터를 구합니다. 그리고 보시다시피 고유벡터가 단하나 존재하는 것은 아닙니다.

 
만약 고유치가 복소값을 가진다면

위 정리처럼 복소고유치에 대해 복소 고유벡터를 가집니다.

 
그리고 삼각행렬이나 대각행렬은 그 고유값이 주대각원소들이 됩니다. 

행렬의 거듭제곱 - Cayley-Hamilton 정리

제곱의 표현에서 행렬 A나 그 특성방정식은 같습니다.

 
A행렬이 위와 같이 주어지고, 고유치를 구하기 위한 특성방정식을 찾고 고유치를 찾았습니다. 

 
그 특성방정식과 같은 형태로 A행렬의 위 식을 만족합니다. 이것을 확장하면

위에서 처럼 계속 A의 거듭제곱을 표현할 수 있습니다.

위의 거듭제곱을 좀 더 확장해서 생각해보면

 
A의 m승의 식이 위에서 처럼 I와 A로 표현된다면 그 계수는 그대로 고유치의 m승에 대해서도 적용될 수 있습니다.

 
위에 그 과정이 나타나 있네요 

직교행렬

대칭행렬의 정의입니다.

 

직교행렬이란 A의 전치행렬과 A의 역행렬이 같은 행렬을 직교행렬이라고 합니다.

 
어떤 행렬의 고유벡터가 위와같이 나왔다면

 
각 고유벡터의 크기(norm)를 1로 만들기 위해 그 크기를 구해서 다시 나누고

 
그것을 다시 행렬로 만들면

 
해당 고유벡터를 가지는 행렬의 직교행렬이 완성되었습니다.

참고자료 : 08 Matrix 04.pdf