[공업수학] 행렬의 대각화

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

대각화

먼저 위 A, B 행렬의 곱을 보면, B행렬의 각 열을 X1, X2로 표현해서 다시 맨 마지막 식처럼 표기할 수 있다는 것은 [공학기초/Theory] - [공업수학] 행렬의 기초의 첨부자료에서 이야기 했었습니다.

 

어떤 대각행렬 D를 A와 P를 이용해 위와 같이 표현할 수 있고, 또한 P행렬의 역행렬이 존재한다면 A는 대각화 가능하다고 이야기합니다.

 

대각화 가능성의 충분조건은 행렬 A의 고유벡터들이 full rank를 가진다면 대각화 가능합니다. 그것은 A*K1=lambda1*K1이기 때문에 AP를 처음 언급한데로 열벡터의 곱의 형태로  표현하고서 비교해보면 대각행렬 D를 나타낼 수 있기 때문입니다. 그러나 충분조건이라는 사실에 주의해주세요. 

대각화 가능하기 위한 필요충분조건은 A의 크기가 고유벡터들이 또한 일차독립이어야 하는데, 알다시피 꼭 서로 다른 고유치를 가지지 않아도 일차독립인 고유벡터가 나타날 수있다는 것은 알고 있을테니([공학기초/Theory] - [공업수학] 교유값과 고유벡터, 그리고 직교행렬) 혼돈해서는 안되겠습니다.^^

 
일단, 만약 행렬 A가 서로 다른 고유값을 가진다면, A는 대각화 가능합니다. (역시 충분조건이라는 사실...) 

위의 2차행렬 A의 고유값과 그에 따른 고유벡터를 구하고

 
그 고유벡터를 이용해서 P를 구하고 P역행렬과 A와 P를 차례로 곱해보면, 대각행렬 D가 만들어 집니다. 이때 대각행렬의 주 대각선상의 수치들은 고유치라는 것을 확인할 수 있네요.

 
위 행렬에서

 
각 고유치와 고유벡터를 구했습니다. 이를 이용해서

P와 D, P의 역행렬을 각각 구해볼수있네요.

물론 확인해 보면, 대각화가능성이 성립한다는 것을 확인할 수 있습니다.

 
그러나 위 예제를 보면 중복된 고유값에 대해 독립인 고유벡터를 도출해내지 못하여 예제의 행렬 A는 대각화가 가능하지 않습니다. 그러나,

위 행렬 A를 보면

고유치가 1을 두번가지긴 하지만

위와 같이 독립인 두 벡터를 만들어 낼 수 있어서, K1, K2, K3이렇게 독립인 세 벡터를 도출해 낼 수 있습니다.

물론 독립인 벡터를 모두 구할 수 있으므로, 대각화가 가능해 집니다. 

직교대각행렬

A행렬이 대칭행렬이라면 이 행렬은 직교대각화가 가능합니다.

역방향으로 일부만 증명한 것입니다.

 
위 행렬A에서 

고유치에 대한 고유벡터를 보면 K1과 K2, K3는 직교벡터지만, K2와 K3는 서로 직교하지 않음을 알 수 있습니다.

이런경우는 다시 직교하도록 고유벡터를 잡아줘야합니다.

 
그리고 P와 D를 찾아볼 수 있습니다.

이차형태 (Quadratic Form)

위와 같은 식을 우리는 2차식이라고 부릅니다.

이때 행렬 X와 A를 잡으면 위와 같이 표현할 수 있습니다.

 
위 식에 대해 좌표변환을 변환행렬없이 한 번 수행해보면

먼저 행렬로 표현하고

 
A행렬을 위와 같이 잡을 수 있고

역시 고유치와 고유벡터를 구하고

P를 구할 수 있고

 
X행렬을 PX'로 표현하고나면 다시 새로운 형태의 전개가 가능합니다. 이 식은

 
위의 그림처럼 새로운 좌표계에서 쌍곡선의 형태로 표현됨을 알 수 있습니다.

참고자료 08 Matrix 05.pdf