[공업수학] 벡터를 이용한 직선과 평면의 표현

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

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직선의 표현

평면상에서 직선의 표현을 공부하는 것은 중학교때일 겁니다. 그때 배운 것은 직선을 알기 위해서는 기울기와 한 점을 알면 된다는 것인데요. 공간상에서도 마찬가지로 방향과 한 점을 알면 됩니다. 그러나 공간이다보니 그 표현이 조금 어려운데요. 이를 벡터를 이용해서 표현할 수 있습니다.

 

 
위에서 보면 방금 이야기했던 방향이 벡터a입니다. 그리고 한 점이 벡터r2지요. 위와 같이 표현하면 공간상의 직선을 표현할 수 있습니다.

 
위 예제에서 세 종류의 답은 모두 같은 직선을 의미합니다. 그런데 위와 같은 표현도 괜찮긴 하지만 또한 매개변수 t를 소거하는 형태로 표현하기도 합니다.

 

위와 같이 표현하면 분모는 방향벡터의 각 성분이고 분자에는 한 점이 들어가게 되는 것이지요.

  

평면의 표현

공간상의 평면은

 
위에서 보다시피 그 평면에 수직한 벡터(법선벡터)와 그 평면 위에 있는 한 점을 알 면 됩니다. 그렇다면 어떤 평면위의 모든 점과 기준이 되는 한 점(r1)으로 만들어진 벡터는 법선벡터와 수직할테니 그 내적은 '0'가 되는 것이지요. 이를 이용해서 평면의 방정식을 도출할 수 있습니다.

참고자료: 07 Vector 05.pdf