[공업수학] 벡터의 미적분 - 벡터함수

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

벡터 함수

위 그림처럼 함수의 출력이 벡터로 나타나는 것을 벡터 함수라고 합니다. 그렇다면 벡터함수는 

 
와 같은 형태를 가질 수 있을 것입니다. 

위의 벡터함수를 보죠. 형태가 잘 떠오르질 않을 텐데요. z축 즉, 벡터 k의 방향은 빼고 생각을 하면,

 
위에서

 
라는 사실을 발견할 수 있습니다. 원이죠... 반지름이 2인... 이제 z축성분이 있으니까 그것도 시간의 함수로... z축상으로 증가하는 방향으로 원기둥의 표면을 따라 움직이는 원 나선(circular helix)임을 알 수 있습니다.

 
일반적으로 위와 같은 형태는 원 혹은 타원형 기둥의 표면을 지나가는 나선이라는 것을 알아주면 됩니다.

그러나 위와 같은 식을 보면 z축성분이 상수로만 존재하고 있네요. 이런경우는 z축상 z=3부분에서 xy평면과 평행하게 떠있는 원이 됩니다.

함수의 극한

벡터 함수의 극한과 연속의 정의는 실수함수와 같습니다.

벡터의 미분

벡터함수의 도함수 역시 같은데요. 이때 각 성분별로

위와 같이 미분을 한다고 생각하면 됩니다.

 
위 그림을 보면, P에서 Q로의 변화를 의미하는 dr벡터에서 도함수의 정의를 적용해서 벡터의 도함수를 찾는 것이구요. 당연히 접선과 같은 방향이 되겠죠.

 
위 벡터함수에서 보면

 

각 성분별로 미분해서 원 벡터함수 r(t)의 도함수를 찾을 수 있습니다.

 
이제 접선이야기를 잠시 해보면...

 
위 벡터함수의 t=3일때의 접선을 찾아보죠

벡터함수에서,

도함수까지 찾고 t=3일때

 
접선의 방향은 찾았네요. 직선을 구성하기 위해서는 한 점이 필요하니까

r(t=3)일때의 위치벡터를 찾아서

 
접점을 찾았습니다. 이제 접선을 구성하면, (뭐 어떤 형태로든 상관없으니까)

이렇게 찾게 되었네요. 

Chain Rule 이라는 것이 있습니다. 위 예제에서 r(t)가 아니라 r(s)의 함수가 주어졌다는 것에 주의해주세요. 정상적으로 r(t)를 구하기 위해 s를 r(s)에 대입하면 힘들어 지는데, 이때 Chain Rule을 사용하면 매끄럽게 r(t)의 도함수를 찾을 수 있습니다. 

벡터의 적분

벡터의 부정적분이나 정적분도 각 성분들에 대해 수행해주면 됩니다.

 
위 함수를 보면 간단하다는 것을 알 수 있겠죠....^^

 
곡면의 길이를 구하고 싶다면, 벡터함수의 도함수의 크기(norm)를 적분해주면 됩니다.

참고자료 09 Vector 01.pdf