[공업수학] 벡터의 미적분 - 접선과 가속도

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

곡선운동

위치벡터를 한번 미분하면 속도벡터가 됩니다. 속도벡터를 한번 미분하면 가속도 벡터가 되구요.

속도의 크기를 의미하는 속력은 곡선의 길이를 구하듯이 계산하면 됩니다.

이때 만약 크기(속력)가 일정한 속도벡터가 있었다면, 위 과정처럼 내적을 이용한 풀이를 응용해보면 속도성분과 가속도성분이 서로 수직이라는 것을 알 수 있습니다.

즉, 위치벡터의 미분치인 속도벡터에 가속도벡터가 수직하면서, 본래의 위치벡터와 방향이 반대(구심가속도)라는 것을 알 수 있는것이지요.

물론, 위치벡터를 직접 두번 미분해보면 위에서처럼 알 수 있습니다. (단, 크기가 일정할때 말이지요..) 이를 구심가속도벡터라고 부릅니다.

위에서처럼 초기 높이가 s0이고 초기속도가 위와 같은 포물선운동을 하는 물체의 경우 , 만약 그 물체자체에는 추진력이 없고 외부의 힘이 없다면, 작용하는 힘은 중력만 존재할 것입니다.

이를 적분하면 당연히 속도가 될텐데요. 이때 초기치를 대입하고 다시 풀어보면

위와 같을 것이고 이때 얻은 속도를 다시 적분해서 위치벡터를 찾을 수 있습니다. 단, 위 식을 보실때 적분인자가 시간 t라는 걸 기억하셔야합니다.

그러면, 위에서처럼 x,,y쪽 성분을 구할 수 있는것이지요.

곡률과 가속도의 접선 가속도 벡터 및 법선 가속도 벡터

단위접선벡터를 이야기하는 것은 이미 지난번에 했었는데요.

이를 이용하면 곡률을 정의할 수 있습니다.

위 그림과 수식들을 보시면, 속도벡터와 가속도벡터들을 찾고 있고, 그 와중에 곡률을 정의하고 있구요.

만들어진 가속도벡터에서 위치벡터와 수직한방향의 접선가속도벡터와 법선가속도벡터성분을 정의내릴수있습니다.

즉, 접선가속도 성분은 속도와 가속도벡터의 내적으로, 법선가속도 성분은 외적으로 찾을 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

접선과 법선으로 이루어진 평면의 수직한 방향의 벡터를 종법선벡터라고 하는데요 이는 당연히 외적으로 구할 수 있겠죠.

09 Vector 02.pdf