[선형변환] 푸리에 급수 Fourier Series

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 선형변환 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학 (신윤기 저, 도서출판 인터비젼) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다. 

푸리에급수의 일반형

어떤 함수가 위와같이 표현가능하다는 것은 주기함수라는 것을 의미합니다. 이런 주기 함수들은 정형파인 cos이나 sin의 조합으로 표현이 가능하게 되는데요.

f(t)가 주기함수일때, 푸리에계수를 알면 위와같이 푸리에급수전개가 가능해집니다.

먼저 삼각함수의 기본공식을 좀 알아야겠지요. 위 공식들은 고등학교때 배운건데...^^

sin과 cos은 한주기동안 적분하면 결과가 0이 될겁니다. 여기서 적분기호 밑에 T는 어디서 시작하든지 한주기동안의 적분이라는 뜻입니다.

위 식을 보면, Sm*Sn은 위 변환공식에 의해 좌변으로 변환될것이구요. 이때, m과 n이 다를때는 한주기간 적분은 당연히 0이 될것이고 m=n일때는 좌측에서 cos(0)를 계산하면 1이니까 한주기간 1을 적분하면 T만 남게 될것입니다. 그래서 T/2라는... 결과를 얻을 수 있지요.

같은 전개방식으로 위 두 식도 도출될 것입니다. 이렇게 두 주기함수의 곱이 한주기간 적분했을때 0의 결과를 얻는 것을 직교성을 가진다고 이야기합니다.

삼각 푸리에 급수

위에서 이야기한 푸리에급수 식은 삼각함수로 표현한 것이어서 특별히 삼각 푸리에 급수라고 이야기를 합니다. 이를 좀더 쉽게 적용하기 위해

n=0일때를 특별히 a0/2로 빼고 나머지만 둡니다.

만약 cos항에 있는 an이라는 계수를 구하고 싶다면, 직교성을 이용하면 편합니다. 위에서 처럼 f(t)에 cos을 곱하는 거죠. 그러면, 직교성으로 인해 위 결과가 도출됩니다.

푸리에계수중 cos쪽 성분입니다. 당연히 sin쪽은

sin을 곱해서 전개하면 됩니다.

이를 다시 정리해서 보면

이렇게 삼각 푸리에 급수 공식을 완성할 수 있네요.

이때, 대상함수가 우함수라면, sin성분들은 모두 0가 될테니 애초에 cos쪽 푸리에계수만 찾아주면 될것이고, 기함수라면, cos성분들은 없다는 이야기이니 sin쪽 성분만 찾아주면 되겠죠.

지수 푸리에 급수

유명한 오일러공식

을 이용하면 삼각함수는

각각 위와 같이 전개될 것입니다.

위 삼각 푸리에 급수는

위의 전개 과정을 거쳐 지수푸리에급수로 다시 표현할 수 있습니다. 이 과정을 다시 표현해서

위와 같은 표현을 많이 사용합니다. 이때 지수푸리에계수를 찾고 싶다면,

위와 같이 지수를 곱해서 다시 전개할 수 있습니다.

 

참고자료 Fourier Series -1.pdf