[선형변환] 푸리에 변환 Fourier Translation

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 선형변환 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학 (신윤기 저, 도서출판 인터비젼)의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

푸리에 변환의 정의

푸리에 급수가 주기함수를 대상으로 하고 있다면 푸리에 변환은 비주기함수에도 그 영역을 확장시킨 것입니다.

위에 푸리에변환과 역변환 식입니다. 이는

지수푸리에 급수식에서 그 계수를 구하는 위 식의 주기 T를 무한대로 극한을 보내면 됩니다.

그러면

찾을 수 있지요.

푸리에 변환의 몇몇 공식

푸리에 변환은 쌍대성을 가집니다. 이는

와 같이 같은 함수에 대한 변환과 역변환이 같은 모양을 가진다는 것인데요.

변환의 정의식에 t대신 -omega를 대입하여 찾을 수 있습니다. 몇몇 함수를 정의해보면

위에서 부터 구형파와 삼각파, 싱크(sinc)함수를 정의합니다. 이제

충격함수를 푸리에 변환하면 1이라는 것과 그 쌍대성을 이용하여 1을 푸리에 변환하면 2pi가 곱해진 주파수영역에서의 충격함수가 나타남을 알 수 있습니다. 충격함수에는 0에서 무한대까지의 모든 주파수 성분이 포함되어있다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 시스템에 어떤 충격함수를 입력으로 가하면, 모든 주파수 성분에 대한 출력을 조사할 수 있음을 의미합니다. 이래서 충격함수에 의한 시스템의 응답, 즉, 충격응답(Impulse Response)가 아주 중요하다는 사실을 알 수 있습니다. 이렇게 해서 몇몇 중요한 함수의 푸리에 변환을 보면

입니다.

푸리에 변환의 중요한 성질

푸리에 변환은 선형성을

만족 합니다. 또한

이동정리를 만족합니다. 이는 지수승의 곱의 형태는 푸리에 변환을 하면 주파수영역의 이동을 의미합니다. 또 상대성을 이용하면 시간영역의 이동은 수파수 영역의 지수승의 곱을 의미하지요.

실수배의 관계를 가지기도 하며

위에서는 미분과 적분사이의 관계를 보여줍니다.

마지막으로 푸리에변환에서의 컨볼루션의 의미도 찾아볼 수 있습니다.

Fourier Tramsform.pdf